Les fractales dans la nature
LA FRACTALITE DES COTES
Introduction :
Dans la nature de nombreuses choses ou objets illustrent le concept de fractalité ; comme les montagnes, les nuages, les amas galactiques, la taille des cratères sur la Lune et Mars, la forme des arbres ou des coraux etc…
Nous avons choisi les cotes maritimes car nous pouvons tous assez facilement se les représenter. Introduire des concepts qui peuvent s’avérer être compliqués est plus simple si on les introduits en une chose que nous visualisons bien.
En quoi une cote est fractale ?
Expliquer
la fractalité d’une cote peut s’avérer difficile. Prenez les cartes 1 et 2 ( cela fonctionne, bien entendu, avec toute carte côtière ).
Lorsque nous les regardons, nous voyons que les cotes ne sont jamais strictement
"plates" mais qu’elles sont composées de caps et baies donnant un aspect
craquelé à celle-ci.
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Toutes ces baies et caps sont eux même constitués d’autres baies et caps plus petits encore. Et ainsi de suite, je serai tenté de dire jusqu'à l’infini mais dans la nature nous ne pouvons pas parler d’infini. |
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Quoi qu’il en soit, quand vous regardez une cote à une échelle de plus en plus petite, vous visualiserez toujours une cote. Et cela est la définition même d’une fractale, à savoir : nous avons une figure, si on zoom sur une partie de cette figure nous retrouvons la figure de départ c’est l’auto-similarité. |
Nous retrouvons cette auto-similarité dans un segment de la courbe de Von Koch. La seule différence réside dans le fait que la courbe de Von Koch est une construction mathématique et donc possédant un nombre infini de "caps" ; alors que le nombre de baies et de caps quelles que soient leurs tailles est limité
Première conséquence de cette fractalité des cotes
La conséquence la plus frappante et la plus marquante de cette fractalité est sur la longueur de n’importe quelle cote.
En effet comment faisons-nous pour connaître la longueur d’une cote ? Nous nous munissons d’une bonne règle et nous mesurons, sur une carte possédant une échelle, la longueur que nous souhaitons connaître puis, nous reportons cette longueur mesurée sur cette échelle. Nous obtiendrons ainsi une longueur approximative de la cote
Pour avoir une longueur plus précise il suffirait d’avoir une carte plus précise et plus grande. Pourquoi ? Mettons que nous mesurions la longueur d’une cote sur la carte avec une barre de bois plus la carte sera précise et plus cette barre se logera dans les caps et baies que forme cette cotte ; et si nous prenons une barre plus petite la conséquence sera la même : la longueur de la cote augmentera.
Si maintenant nous allons sur le terrain même mesurer cette cote avec cette même barre de bois nous "explorerions" encore plus de recoins de cette cote, et sa longueur augmentera encore. Si nous réduisons la longueur de notre barre jusqu'à que nous puissions mesurer jusqu’au moindre grain de sable voir même jusqu'à la moindre molécule la longueur de la cote augmentera d’autant plus. C’est pourquoi nous pouvons dire que si nous avons une barre infiniment petite, la distance que nous mesurerions avec serait infiniment grande.
C’est Benoît Mandelbrot, éminent scientifique et chercheur dans ce domaine des fractales, qui arriva à cette conclusion.
Prenons comme exemple la cote de Bretagne ; elle pourrait avoir la même longueur que celle de Manhattan ou de la totalité des Etats-Unis, en appliquant le principe de prendre une barre de plus en plus petite.
Comme nous l'avons vu précédemment, cette augmentation de la longueur avec la diminution de l'échelle est l'une des caractéristiques des fractales.
Seconde consequence de la fractalité des cotes
Une deuxième conséquence de cette fractalité des cotes est que l’on peut à présent construire des modèles de côtes sachant comment "expliquer" leurs formes. Ceci donne un aspect plus mathématique et théorique à ce qui aurait pu nous sembler au contraire comme étant une des choses les plus concrètes.
Cette conséquence peut nous paraître mineure cependant pour les mathématiciens comme pour les physiciens cela leur permet d’étudier des formes naturelles qui ne semblaient pas être constituées "normalement" ou ayant des formes trop aléatoires.
Je ne sais comment conclure sur un sujet qui ne demande qu’à être étudié toujours plus. Je finirai simplement en disant que la réponse apportée par Mandelbrot au problème qu’il s’était posé en se demandant quelle était la longueur de la cote de Bretagne, a savoir une longueur infinie, sont mathématiquement justes mais que nous ne devons pas les prendre comme vérités si nous voulons être rigoureux ; la terre n’est pas infinie. C’est pourquoi je veux marquer la frontière existante entre les mathématiques et le monde physique, frontière qui m’a semblée s’amenuiser après avoir fait le point de ce sujet.
Un autre shéma explicatif : en rouge des pas de longueur 2 et en jaune de
longueur 1.
De nombreux objets naturels ressemblent à des fractales.
Comme le chou ou la fougère. Mais ces objets
naturels ne sont pas de vraies fractales, puisque leur complexité n'est pas
infinie. La complexité s'arrête au niveau de l'atome, et non au niveau de
l'infiniment petit. De même, elle ne s'étend pas dans l'infiniment grand.
