Introduction
Ce TPE a été réalisé par 4 élèves en classe de première S au lycée charlemagne durant l'année 2002-2003 : Benjamin P. Louis F. Tom V. et Mathias K.
Bien que connue depuis le XIXe siècle, les fractale n'avait jamais été réellement étudié et était considérées comme des monstres mathématiques jusqu'à ce que Benoît Mandelbrot, mathématicien français (qui s'est inspiré des travaux des mathématiciens Gaston Julia et Pierre Fatou), ne les étudie en tant que telle dans les années 70. C'est lui qui forge le néologisme fractal à partir du latin "fractus" qui veut dire brisé.
Qu'est ce qu'une fractale ?
Au départ, les fractales n'était que des objets mathématiques. C'est donc par-là que nous allons commencer à les étudier.
Les courbes
fractales
Les courbes fractales sont les fractales les plus simples à se représenter. Elles sont obtenues grâce à une construction géométrique.
Ici encore, il en existe plusieurs sorte : Les premières sont celle obtenue grâce à un initiateur et à un générateur.
La plus connu des
courbes de ce genre est le flocon ou courbe de Von Koch ; c'est à cette courbe
que correspondent les figures ci dessus.
Pour construire cette courbe, on débute avec un initiateur puis on remplace chaque segment de la figure (au départ il n'y en a qu'un) par le générateur. Une étape de la construction va être appelée "itération", puisque l'on répète la même opération un certain nombre de fois. La courbe de Von Koch la plus connue est construite de la manière suivante :
Mais de nombreuses variations existent, en voici un exemple :
Théoriquement, pour obtenir la fractale, il faudrait recommencer faire une infinité d'itération lors de sa construction. Mais dans la réalité, on ne peut même pas afficher (la limite étant la résolution des ordinateurs) les détails obtenus après la cinquième ou sixième itération.
Mais il existe une infinité de manière différente de créer des courbes fractales :
L'un des exemples le plus connu est le triangle de Sierpinski ci dessous. Il est obtenu avec au départ, un triangle équilatéral noir. Dans ce triangle, on évide un triangle équilatéral dont les sommets sont les milieux des arrêtes du premier triangle. Ceci nous donne trois triangles noirs équilatéraux plus petits avec lesquels on recommence le même processus.
Le tapis ou triangle de Sierpinski
Les fractales déterministes
Les fractales les plus intéressantes à étudier sont certainement les fractales déterministes.
Elles se construisent sur la base d'un algorithme mathématique :
- à chaque point de l'image on associe une coordonné faites de deux nombres réels. En fait, il s'agit d'un nombre imaginaire.
- puis on élève ce nombre au carré et on lui ajoute une constante (aussi un nombre imaginaire). C'est cette constante qui "fait" la fractal.
- Ensuite, on répète un nombre infini de fois le point précédent en reprenant toujours pour nombre la norme du nombre trouvé par l'itération précédente. En fait, dans la réalité on ne le répète qu'un nombre limité de fois.
- A la fin, on regarde si le nombre que l'on obtient est resté petit ou s'il a grandi vers l'infini (si on ne répète la boucle qu'un nombre limité de fois, dans ce cas on fixe une limite maximale à la place de l'infini). Dans le premier cas ce point fait partie de la fractal (on leur associe la couleur noire le plus généralement) dans le second cas, on associe au point une couleur selon la vitesse à laquel à grandi le nombre qui lui était associé au fil des opérations.
- La figure finale donne la fractal.
Fractale dite ensemble de mandelbrot
Propriétés des fractales
Auto-similarité
La propriété la plus connue des fractales est bien sûr leur auto-similarité. Ceci signifie, qu'à différentes échelles, une partie de la fractale sera similaire à la fractale dans son intégralité et ce aussi loin que l'on puisse "zoomer".
ATTENTION, ceci n'est pas vrai pour toutes les fractale. Mais nous ne parlerons pas de fractals ne possédant pas cette propriété car elles ne sont d'aucune utilité ici.
Exemple d'auto-similarité
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Dimension fractale
La deuxième particularité des fractales est leur dimension. Dans la géométrie euclidienne, tous les objets possèdent une dimension entière.
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Objets |
Représentations |
Dimensions |
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un point |
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0 |
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une ligne(droite, courbe...) |
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1 |
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une figure plane(quadrilatère, cercle...) |
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2 |
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Une figue dans l'espace (parallélépipède, sphère...) |
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3 |
Mais les fractales ne possède pas forcément des dimensions entières :
Pour un objet de dimension 1 (une droite), si on le mesure avec un étalon de longueur x et que l'on trouve une longueur y. Alors pour un étalon de longueur x/2 on trouvera une longueur y*2.
Pour un objet de dimension 2 (un plan), lorsque l'on prend l'étalon de longueur x/2 (tout les coté de l'étalon sont divisé par 2), on trouve comme longueur y*4
Pour un objet de dimension 3, on a y*8.
Si l'on appelle a le coefficient diviseur de x et b celui multiplicateur de y, alors la dimension d'un objet nous est donné en résolvant la formule az=b en fonction de z.
On vérifie : si a=2 et b=8 alors 2x=8
23=8
La dimension est 3 (ce qui correspond à ce que nous avions au départ).
La solution générale de l'équation est :
Ax=b
log(ax)=log(b)
x * log(a)=log(b)
x=log(b)/log(a)
Mais essayons pour une figure comme le triangle de Sierpinski.
Si nous prenons l'initiateur comme étalon, la première figure a une longueur de 1.
Mais si nous divisons la longueur de l'étalon par 3. Alors nous devons zoomer 3 fois sur la figure, ce qui nous donne la première itération (ici le générateur). La longueur est donc 4 fois plus grande.
La dimension de la figure est donc log(4)/log(3)=1.2618595…
Ceci veut dire que cette courbe est entre une courbe et un plan. Mais ce résultat pourrait presque sembler naturel car en répétant l'itération de construction à l'infini, le triangle aurait un périmètre infini (ce qui pour une courbe voudrait dire qu'elle est un plan).